同角三角函数关系高一数学
一、教材分析与大纲要求：
《同角三角函数基本关系式(一)》是高中数学教材第一册(下)第四章第四节内容。在此之前，学生已学习了任意角、任意角的三角函数定义、函数值符号与角的终边位置的关系，为本节的学习起着铺垫作用。三角函数是中学数学的重要内容之一，而本节内容又是本章的重要基础知识。大纲明确指出掌握同角三角函数的基本关系式(，，)。高考中它多数作为容易题出现，或在解答题中作为中间步骤出现。它揭示了同角不同名三角函数之间的内在联系，应用这部分知识主要解决三类问题：一是已知某角一个三角函数值，求其余三角函数值;二是化简;三是证明三角恒等式，本节课主要解决第一个问题。同角三角函数的基本关系式也是今后学习两角的和与差的三角函数、向量、几何以及其他学科如物理学等知识的工具。
数学思想方法：从特殊到一般、分类思想、方程思想。
二、教学目标：
依据考试大纲对数学考查的要求和学生知识水平等实际情况。
知识与技能
掌握同角三角函数关系式：，
已知某角的一个三角函数值，求各三角函数值。
方法与过程
通过计算、猜想等，体验由特殊到一般的发现规律的历程;体验根据三角函数的定义推导同角三角函数基本关系式过程，运用同角三角函数基本关系式进行求值，掌握解决数学问题的'一些基本方法。
情感、态度与价值观
通过对基本关系式的猜想、推导与运用，培养学生由特殊到一般的认识事物过程和探索研究，发现问题等能力，使学生自觉养成严谨的科学态度。
三、教学重点、难点、关键
重点：三个基本关系式的推导与应用。
难点：基本关系式的合理选取与三角函数值正负符号的确定。
关键：正确应用平方根及象限角的概念.。
四、教学方法
本节课内容学生掌握起来难度不大，根据学生的知识水平及认知特点，对三个基本关系式的推导，采用启发、归纳、猜想的方法;由于三角函数的符号确定困难，所以在例题教学中采用讲练结合的方法，让学生在具体解题中去感知、领会。
五.教学过程
1、新课的引入
(这部分，我设计从特殊角三角函数值的计算入手，得出猜想。计算不是问题，要猜想出目标式子，就将引导学生对每组式子的结果，函数名、角度、结构等方面进行讨论、分析。学生准确表达出自己的猜想是难点，教者应及时点评学生的表述。同时应紧扣课题，引导学生分别用数学语言与文字从两方面表述，强调同一个角等字眼。)
引言：我们已知道了特殊角的三角函数值，现在大家一起来计算下列三组式子。
①
②
③
设问：通过计算，观察各组式子，你有什么发现?讨论并用数学语言表达出来。
猜想：
(式子)
(文字)：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切;同一角的正切、余切之积等于1(即同一个的正切、余切互为倒数)。
2、新课内容
(新知识内容分三步：1.推导关系式不难，但应说明为什么想到用定义来推导和式子成立的条件。2关系式得出之后，我将进一步强调“同角”、公式适用条件、尤其是公式的变形，公式变形在以后化简、证明中常用到。这也是学生对知识必要积累，灵活运用公式的基础，对学生的数学能力提升有益。所以，教学进行到这里，我特地让学生对公式的变形进行讨论、归纳、总结整理。3随后，抛出一个自主探索性问题，留出时间让学生推导其它的三角函数的关系式，让学生展开讨论，方法应多样。)
2.1、推导同角三角函数的基本关系式
设问：上面猜想式中的角α是任意角，它一定成立吗?说说理由。
回忆并给出三角函数的定义式：(注重强调条件及意义)
我们在这种一般情况下来计算：
结论： 平方关系
商数关系
倒数关系
即：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切;同一角的正切、余切之积等于1(即同一个的正切、余切互为倒数)。
2.2、解读同角三角函数的基本关系式：
1°强调：①正确理解“同一个角”，与角的表达形式无关，如：;;;
②角应使公式中式子有意义：公式2，;
公式3，的终边不能落在坐标轴上。
2°公式变形
平方关系：
sin2α cos2α=1 ，1=sin2α cos2α
商数关系：
倒数关系：
2.3现在我们推导出了三个关系式，还能推出哪些类似的关系式?引导学生进行自主探索。
3、讲解例题
(例题选讲，相对教材而言，我作了一定的取舍，选择了两类题。例1及其变式，体现分类思想，注重解题方法、步骤。符号确定是难点，学生会出现不考虑符号，直接想当然地取算术根。教学过程中，我将通过象限角来突破难点。小结解题的方法，紧接反馈练习，以检测学生学习情况。例2及其变式，由切求弦，体现化切为弦通法，构建方程组，体现了方程思想。提高训练中，设计有较综合利用基本关系式的题，有一定难度。所选取两个例题及变式题，体现从简单到复杂、从特殊到一般，层层加深。
讲解例题时，我力争做到讲明怎样解，更要讲明为什么这样解，还及时对解题方法、规律进行概括总结，有利于发展学生的思维能力。训练与提高，我设计从基础题到有一定的变化的题型，一步一步地加深，以满足不同层次学生的需要。其中第2、3题体现了较灵活运用三角函数的基本关系式相互转化三角函数。这也是以后练习中常见重要题型。)
例1、已知，并且是第二象限角，求、的值。
析： ①所求函数值的符号如何?理由。
②先求哪个函数值?
解：∵ ，
∴
又∵是第二象限角，∴。于是
思考：①你知道为多少吗?
②如果去掉“是第二象限角”这个条件，应怎样做?解决起来有什么不同?
③如果将变成，会求出、吗?从中你得到什么收获?
小结：知正弦(余弦)，由平方关系式求得余弦(正弦)，再由商数关系得到正切(余切)。体现了分类的数学思想。
训练与提高一：1)已知，且是第一象限角，求、 的值。
2)已知，且是第三象限角，求、、的值。
3)已知，求、的值。
例2、已知tanα=2，且是第一象限角，求、的值。
解：由题可得：
由方程组可得：
∵是第一象限角
∴，及
思考：①如果“是第一象限角”是“是第三象限角”，、的值又是多少?
②如果没有“是第一象限角”条件，又怎样做?
③如果变成为非零实数，如何求、的值?
小结：本例题主要体会了方程思想。
训练与提高二：1)已知，求、、的值。
2)=3，求的值。
3)已知 ，，求的值。
4、课堂小结：
知识：同角三角函数基本关系式;
思想：从特殊到一般、分类思想、方程思想;
方法：知一求值方法
(课堂小结，我设计从本堂课知识，所涉及到思想，方法进行总结，重在思想方法。)
5、板书与作业安排
板书应规范，为学生起好榜样示范作用。 习题4.4, 1~3题
六、预期效果分析
通过本节课的教学，学生能够掌握同角三角函数关系式，能解决已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值的问题。估计有部分学生在符号上仍然存在问题，尤其已知一个角的正切或余切，求它的正弦、余弦值会问题多一点。
